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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 T9DzU+\;  
g/`+@iN   
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. JvK#:!=b>  
@rejr{kJ;/  
　　1、三角函数本质： s]g9X^ER  
I?a*Hs  
　　三角函数的本质来源于定义 hq.V{1  
O_2Nu?pQ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 9wH1xA9r  
Z%S< av4B  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 M~s).S  
Ij.~   
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ='>4BP  
T B#XmZFF  
　　推导： r sv]E9  
G)E> 5yh  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 n!LF(z<f  
%<E|h6dv  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 6kSa"|A  
O1o.Dt  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) _s mB+h|  
c0 i:  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 CoA^ n=  
.z/Dl\0DS  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） @Cg'p n9TP  
L;-D- \56  
　　[1] 3(<{NP7  
cs[b\2  
　　两角和公式 $wKe|c_  
0:tx?j3(e  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB r&W n  
42B=5 aDK  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  T4_A/Kb7  
=e\5c@yNq  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB g@KgEMu  
H`'j@I3F  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB a+?#^r~  
cT&V]fZF+l  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) f?0 ~a(7  
T5[!|U[  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 7D^ 9^b^  
.H 1+G(=  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  b^r5 [:zZ  
6ZsS-g<yA/  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 76Q5u.  
K[OgT&Q3  
倍角公式 !n{ 7C  
d?w^ u0  
　　Sin2A=2SinA•CosA Il"xIf;R  
eg,.U"  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 &d  t_RO5  
}&a, eF  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） *\?qY^D W  
^H:\{`)V_E  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Et|g})rM[  
dFsF_d.  
三倍角公式 7LDx3 rNW  
_@zzY(  
　　 36&U2ey'  
XC*<gV;Z#N  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) d7kdHJn  
=mt0q0kH  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) :Ge t&#h  
V~e.OL  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) wmPq~u:as%  
1OL@>k;o  
三倍角公式推导 s4M$ $8+  
BDRlp%Ax9  
　　sin3a C{:)>g.(  
eP\762By  
　　=sin(2a+a) o@ t,'  
5?Kcq  
　　=sin2acosa+cos2asina C:oVQiI  
Xsz%)+Ky  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ;RMq+5l`  
ae; d?d+  
　　=3sina-4sin³a ruD5$qo  
Fzd 7 K7K  
　　cos3a N4 <@ {1  
YvLosFDg  
　　=cos(2a+a) N7UAovN B  
15*fYG.0f  
　　=cos2acosa-sin2asina %9rDW8  
"+Yl^1idY  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa b1xZSb*'9?  
Oc0%<M!,  
　　=4cos³a-3cosa :O24 h6  
rpoj*#qD  
　　sin3a=3sina-4sin³a Y&AKa=t4^<  
O -IVx[?  
　　=4sina(3/4-sin²a) ,-R2R|zd  
;|A(R^  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] A~xl|c  
}C^FCAG2  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 0IH<  .  
n]@K3 "b  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) gP!} Dy/sC  
WZS sOoc?  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] izVH@1  
<V=;r=o  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) . ny)$q}"  
xJrGDg  
　　cos3a=4cos³a-3cosa OF7#q  
lC?BXE .  
　　=4cosa(cos²a-3/4) jcLt*zph  
~1 c\bG;  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] n`+ T8  
Jdti5(x  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) -.& ;hEIbm  
l[{n\S  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) (Unr`~zi  
i_!vT  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Uv1 mtMD  
04eN2}[X  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) u!MxN6@nX  
ojBf$ j"  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] UTp2U-]r  
Ly7r R  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] [WyX.Z=[  
/LE56NO?0s  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) eumkWrx4  
;C(bl2^)}^  
　　上述两式相比可得 u?@dQX(p&  
RGPf&k+  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ^m"4>],h&  
TV=_5*  
半角公式 F,cuunmUQb  
ce1TJj>{  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); _^Hg9!cR  
dm`@.!Q9  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. =Js$_1pr  
Hp]@u&5%  
和差化积 qxY`UrU  
f@|zm~cE0o  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] X`O|oPO-w  
S_f"*  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]  lnFNhY  
yc&.G;D  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W%|? #r)I  
,X>`c1)s4  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $a5u^2&D  
51Ki[9R9  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) fmLQX.  
nfN/3ja  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) wIFxXF;  
^vg,J iK  
积化和差 q9plVW*  
Y\YVyyi`F  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] "HS'0r4  
2A;m4v=~  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] +IF[~VRx  
 lB7~peR%  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 2MXX:ha-*Q  
-1Tyq6i[  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] {qS~?m#  
JHI_i? [  
诱导公式 5 %Nr|f  
6,/L/1 K  
　　sin(-α) = -sinα 4SJvi i*  
s)r%$ +3?  
　　cos(-α) = cosα Qf`5[x]{u  
(s" gMV  
　　sin(π/2-α) = cosα $Wreb1`  
7Pdbh!<p`  
　　cos(π/2-α) = sinα _-=bIAS_lb  
zd7G)RT  
　　sin(π/2+α) = cosα :s'd6  
%z2G(a\b  
　　cos(π/2+α) = -sinα 4_+ pwT%  
3=qF 8AT  
　　sin(π-α) = sinα |bz>5b?}i9  
#a/I8Bzc  
　　cos(π-α) = -cosα dzl3shM  
V2=cCot  
　　sin(π+α) = -sinα p KDX7Re  
" ,-ty9.  
　　cos(π+α) = -cosα ~}GT<ghL  
YwZaQN  
　　tanA= sinA/cosA n9^l2IU  
`3Bkfy  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα K%cd[eO\=  
Z`peD  <  
　　tan（π/2－α）＝cotα pQyXk  
)3!NF`L7  
　　tan（π－α）＝－tanα x( !_<i  
a}>uTe)  
　　tan（π＋α）＝tanα m&2Y\K  
| !Axzi  
万能公式 /Kad5m5u  
#CCi\6K ^R  
　　 JiOdx-  
jpsl%5:  
其它公式 sp~[pvi6  
;E{ga',&mk  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 9r%<]>b W  
L%+|- 0xC5  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 >;jzHoOzc  
PZ}_  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 g/Y7x%-  
HY UMo \  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 t)Gdyl  
2o6'4}   
　　对于任意非直角三角形,总有 "B uJsx2  
U\jG{ T  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $sM>%M)5  
Q}{!$%it%  
　　证: m)VeRj  
DmstWzO  
　　A+B=π-C 4*MGa:/D  
AEo}Qb0  
　　tan(A+B)=tan(π-C) -j7wyh5_$_  
>]Rk+Aq  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) "p:?a%  
%G*QOh  
　　整理可得 * #ghh  
FQZAl3/Y  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `4N2E(wl  
7 G-p,  
　　得证 ;\8:ye*#  
lH}$:9@$  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 3@Q38:0&  
tw17C^M)  
其他非重点三角函数 Y _<hf  
-.!?rS  
　　csc(a) = 1/sin(a) 6h- Xo  
X>*9bO }  
　　sec(a) = 1/cos(a) 8|]}W6R  
64/f[  
　　 -w35ZA  
W&1E2UY8  
双曲函数 R6E4*SI  
N|~37t^  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 1 rp#3[  
Gd!/5P  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 v&q[<  
_Xl`?2|%m  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) d_wD>LU7  
` 5l?5)|\  
　　公式一： @VJyjes  
:jhO0S1=Zy  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： BhA "8/  
p}Bq8zud  
　　sin（2kπ＋α）= sinα NFvK{[A  
j+gLA 0K>  
　　cos（2kπ＋α）= cosα &Lwt&KK  
N_CSkhQ"L  
　　tan（kπ＋α）= tanα 0 k^*%[  
5LM!*5k;<  
　　cot（kπ＋α）= cotα >6==C+  
O[1- <%KU  
　　公式二： kMa:$/Jmd  
0{r(qVC  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Bykl``c:;2  
9*fNTsG  
　　sin（π＋α）= -sinα %?G?eUO  
o3mLf==k  
　　cos（π＋α）= -cosα Po-;BBqJE  
, hk@&h~  
　　tan（π＋α）= tanα &YvP`:6A/  
APM;W"?y  
　　cot（π＋α）= cotα u A|&s7y<  
$p,8_5  
　　公式三： N{VRg;<a  
F[{C; %9A  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： [azjpO=Lz  
Ec+PT"Kq  
　　sin（-α）= -sinα AL'gb6NOj  
kaRb4=@$  
　　cos（-α）= cosα DzP<?lX<  
(._  
　　tan（-α）= -tanα YU/?(<)O  
8)xUs S  
　　cot（-α）= -cotα w)B;S+~  
&;  3-  
　　公式四： sM#\rum  
_LO`n3g  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 6fTf/`nJ  
1 hg`4jQ  
　　sin（π-α）= sinα }!lmYk1  
<[(wYQ>m  
　　cos（π-α）= -cosα lp3o8BTnEp  
FQrA >JUc  
　　tan（π-α）= -tanα t]6cQ(^)L4  
(!_Dx *Po@  
　　cot（π-α）= -cotα jo&k "d+  
p)q;X)]  
　　公式五： U~GQ> |  
}Qd'H *II  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： :j{ 8R^j)L  
Fuz?1 BA  
　　sin（2π-α）= -sinα 08=phk=lA  
^qp(j 1  
　　cos（2π-α）= cosα C;sx@AmuV  
o0A#4l%.3  
　　tan（2π-α）= -tanα S_d>@h.%  
+GO#K Zo  
　　cot（2π-α）= -cotα i(&u3~8X  
"$wH~V  
　　公式六： i4CG|  
WN2>&|S|f  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： %=Bck2  
lXSEEA  
　　sin（π/2+α）= cosα 4kAZfaVOy  
8g6Jw6Oe  
　　cos（π/2+α）= -sinα ti2b/k'Hx  
\2h@DNe)w  
　　tan（π/2+α）= -cotα }I@Dq2   
x&wt2R\*4S  
　　cot（π/2+α）= -tanα &Ddnt=5.  
/./[Fm\  
　　sin（π/2-α）= cosα P Xwl @^  
g>6&lW^  
　　cos（π/2-α）= sinα klvs l/  
voap3x $  
　　tan（π/2-α）= cotα $ \wj<r?)  
0:6;T6""+  
　　cot（π/2-α）= tanα L@G5K]~$K  
m]gLJM&a9p  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ;,yFb(P  
M#uL[QLA  
　　cos（3π/2+α）= sinα O^`RtoZF'  
^ ~xciBet  
　　tan（3π/2+α）= -cotα %ABVLo+c6D  
oeH&k Ev^u  
　　cot（3π/2+α）= -tanα `~3i3?(2&  
hH8qIyb:  
　　sin（3π/2-α）= -cosα #DJ!Ms0  
Dmi-]c  
　　cos（3π/2-α）= -sinα N+u}1O%'RD  
zO;Y =PB  
　　tan（3π/2-α）= cotα 2;<% p  
 %~r|+.3  
　　cot（3π/2-α）= tanα h `x(%  
}t2| J  
　　(以上k∈Z) =Z?jB>t  
&-PW?C  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 I.vd_A;  
IJ~%m|-m]  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = "Z$7x]  
aa]:^$  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ,\En#z Z  
0P@. F%  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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